图书搜索

轴对称图形
发布时间:2016-11-04 10:02:39   来源:   评论:0 关注:

轴对称图形知识回放名师精讲考点一 轴对称图形的识别 例1 (盐城市盐都区期中)在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中,是
轴对称图形
知识回放

名师精讲

考点一 轴对称图形的识别 
 
例1 (盐城市盐都区期中)在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中,是轴对称图形的是(  )
      
解析:A不是轴对称图形,不符合题意;B是轴对称图形,符合题意;C不是轴对称图形,不符合题意;D不是轴对称图形,不符合题意.故选B.
答案:B
点评:确定轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
考点二 轴对称的性质 
 

例2 (连云港市期中)如图1,△ABC与△DEF关于直线l对称,则∠F等于(  )
图1
 
 
A. 60°  B. 40°  
C. 80°  D. 60°或80°
解析:因为△ABC与△DEF关于直线l对称,所以∠A=∠D=40°,∠B=∠E=60°,所以∠F=180°-60°-40°=180°-100°=80°.故选C.
答案:C
点评:根据成轴对称的两个图形全等,再根据全等三角形的对应角相等,再结合三角形的内角和定理计算.

考点三 线段的垂直平分线的性质及其判定的运用 

例3 (无锡市江阴市期中)如图2,在△ABC中,AB=a,AC=b,BC边上的垂直平分线DE交BC、BA分别于点D、E,求△AEC的周长.
图2
 
 
解析:要求三角形的周长,知道AC=b,只要求得AE+EC即可,由DE是BC的垂直平分线,结合线段的垂直平分线的性质,知EC=BE,这样三角形周长的一部分AE+EC=AE+BE=AB,代入数值,答案可得.
解:因为ED垂直且平分BC,所以BE=CE.
因为AB=a,AC=b,所以AB=AE+BE=AE+CE=a,
所以△AEC的周长为AE+EC+AC=a+b.
点评:本题中三角形的各边长无法直接计算,通过线段的垂直平分线性质将线段转化,再整体求解.
考点四  角平分线性质及其判定的运用 
 
例4 (无锡市期中)如图3,在△ABC中,∠B的平分线BD与∠C的外角平分线CE交于点P.求证:点P到三边AB、BC、CA所在的直线的距离相等.
图3
 
 
解析:过点P作三边AB、BC、CA所在直线的垂线,垂足分别是Q、M、N.根据角平分线性质即可证明.
证明:如图3,过点P作三边AB、BC、CA所在直线的垂线,垂足分别是Q、M、N.则垂线段PQ、PM、PN,即为点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离.
因为P是∠ABC的平分线BD上的一点,所以PM=PQ.
因为P是∠ACM的平分线CE上的一点,所以PM=PN.
所以PQ=PM=PN.
所以点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等.
点评:在解答角平分线问题时如果直接解答有困难,通常考虑过角平分线上的点向角的两边作垂线段,构造全等三角形,根据角平分线性质作答.
考点五 角平分线与线段的垂直平分线的作图 
 
例5 (无锡市宜兴市期中)如图4,已知∠AOB及点M、N.
用尺规作图作一点P,使得它到∠AOB两边的距离相等,且到M、N两点的距离也相等.(保留作图痕迹)
图4
   图5
 
 
解析:点P到∠AOB两边的距离相等,即在∠AOB的平分线上,点P到M、N两点的距离也相等,即在MN的垂直平分线上,所以作出∠AOB的平分线和MN的垂直平分线,它们的交点为点P.
解:如图5,点P为所求作的点.
点评:解答这类尺规作图问题要注意:①尽量用铅笔作图,作图要按步骤进行,决不徒手画图,草率行事;②要虚实分明,一般辅助性的线用虚线,要求画出的线用实线,要保留作图痕迹.保留作图痕迹才可以体现作图全过程.
考点六 等腰三角形的性质 
 
例6 (无锡市滨湖区期中)如图6,在△ABC中,AB=AC,AD∥BC,求证:AD平分∠EAC.
图6
 
 
解析:由等边对等角可得到∠B=∠C,再根据平行线的性质可得到∠EAD=∠B=∠C=∠DAC,即AD平分∠EAC.
证明:因为AB=AC,
所以∠B=∠C.
因为AD∥BC,
所以∠EAD=∠B=∠C=∠DAC,
所以AD平分∠EAC.
点评:证明角相等时,如果两个角在同一个三角形中,通常考虑根据“等边对等角”证明.

考点七 等腰三角形的判定 
 
例7 (泰州市姜堰区期中)如图7,在△ABC中,BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB,过点D作直线平行于BC,分别交AB、AC于点E、F,求证:EF=BE+CF.
解析:根据平行线的性质和角平分线的性质,解出△BED和△CFD是等腰三角形,通过等量代换即可得出结论.
图7
 
 
证明:如图8,因为在△ABC中,BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB,
所以∠1=∠2,∠5=∠6.
因为EF∥BC,所以∠2=∠3,∠4=∠6,
所以∠1=∠3,∠4=∠5,
所以BE=ED,DF=FC,
所以EF=ED+DF=BE+CF.
图8
 
 
点评:条件中有平行线,有角平行线,通常存在等腰三角形.
考点八 等边三角形的性质及其判定
 

例8 (扬州市高邮市期中)如图9,△ABC是等边三角形,点D、E、F分别在线段AB、BC、CA上.
(1) 若AD=BE=CF,问△DEF是等边三角形吗?试证明你的结论;
(2) 若△DEF是等边三角形,问AD=BE=CF成立吗?试证明你的结论.
图9
 
 
解析:(1)由“SAS”易证△ADF≌△BED≌△CFE,所以DF=DE=EF,即△DEF是等边三角形;(2)如图10,先证明∠1+∠2=120°,∠2+∠3=120°.可得∠1=∠3.同理∠3=∠4.则△ADF≌△BED≌△CFE,故能证明AD=BE=CF.
解:(1) △DEF是等边三角形.证明如下:
因为△ABC是等边三角形,所以∠A=∠B=∠C,AB=BC=CA.
又因为AD=BE=CF,所以DB=EC=FA,
所以△ADF≌△BED≌△CFE,
所以DF=DE=EF,即△DEF是等边三角形.
(2) AD=BE=CF成立.证明如下:
如图10,因为△DEF是等边三角形,
所以DE=EF=FD,∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°,
所以∠1+∠2=120°.
又因为△ABC是等边三角形,所以∠A=∠B=∠C=60°,
所以∠2+∠3=120°,所以∠1=∠3.
同理∠3=∠4,所以△ADF≌△BED≌△CFE,所以AD=BE=CF.
图10
 
 
点评:判定等边三角形的常用方法有三种:(1)三边都相等,(2)三个角都是60°,(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
考点九 直角三角形的性质 
 
例9 (南京市六合区期中)如图11,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中点.求证:MD=MB.
图11
 
 
解析:将MD、MB分别置于直角三角形ADC和直角三角形ABC中,然后根据直角三角形的性质(斜边上中线的长度等于斜边的一半)来求证即可.
证明:因为∠ABC=90°,M是AC的中点,所以BM=
2(1)AC.
同理可证DM=
2(1)AC.
所以DM=MB.
点评:“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质的应用对于不少同学而言是一个难点.认真阅读题意,找出直角和中点,再将图形从复杂的背景中分离出来就可以发现这一结论.
考点十  轴对称图形的设计 
 
例10 (盐城市大丰市期中)已知:图12中①、②均为5×6的正方形网格,点A、B、C在格点(小正方形的顶点)上.请你分别在图①、②中确定格点D,画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形,使其为轴对称图形,并画出对称轴.
解析:根据轴对称图形的性质设计出轴对称图形即可.
解:如图12所示.
图12
 
 
点评:这类网格中轴对称图形的构图解答的基本思路是先确定一条对称轴,一般来说对称轴有两种类型,一种是与网格平行的直线,另外一种是网格所在的正方形的对角线.再根据对称轴补出图形.
临门一脚 
轴对称图形是每年中考重点内容,特别地,等腰三角形的性质及其判定更是考查的重点,解答等腰三角形要注意分类思想的运用,以及三角形常见辅助线的运用.遇到等腰三角形常考虑作底边上的高,即“等腰三角形三线合一”,遇角平分线常考虑向角的两边作垂线段等.同一个三角形中证明角相等常考虑“等边对等角”.


相关热词搜索:轴对称 图形
上一篇:全等三角形
下一篇:勾股定理
分享到: 收藏文章